Вопрос 5. Пользуясь данными рисунка, найдите значение множителя k, при котором будет истинным равенство \(\overrightarrow{LN}=k\cdot\overrightarrow{BK}\).

По отметкам на рисунке K — середина AB, L — середина BC, N — середина AD.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\). Тогда \(\overrightarrow{BK}=-\frac12\mathbf{u}\).

Так как ABCD — параллелограмм, \(\overrightarrow{BC}=\mathbf{v}\). Поэтому \(\overrightarrow{BL}=\frac12\mathbf{v}\), а \(\overrightarrow{BN}=\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{LN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BL}=\mathbf{u}\). Значит, \(\overrightarrow{LN}=-2\overrightarrow{BK}\).

Ответ: \(k=-2\).