Вопрос 5. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1) $24(\cos 4\pi+i\sin 4\pi)$; 2) $\cos 24\pi+i\sin 24\pi$; 3) $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$; 4) $\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}$; 5) $24(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вопрос 5. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1)…$ Фото задания

Вопрос 5. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1) $24(\cos 4\pi+i\sin 4\pi)$; 2) $\cos 24\pi+i\sin 24\pi$; 3) $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$; 4) $\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}$; 5) $24(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})$.

Accepted Answer

Найдём модуль числа в скобках: $\left|\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right|=\frac{\sqrt{3+1}}{2}=1$. Его аргумент равен $\frac{\pi}{6}$, поскольку $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

По формуле Муавра:

$z=\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{24}=\cos\left(24\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(24\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\cos 4\pi+i\sin 4\pi$.

Ответ: вариант 3 — $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$.