Вопрос №5. Прямая, пересекающая диагональ BD в параллелограмме ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно. Причём ME = KE. Докажите, что BKDM — параллелограмм.

Точки M, E и K лежат на одной прямой, а по условию ME = KE. Следовательно, E — середина отрезка MK.

Точка E также лежит на диагонали BD, поэтому диагонали четырёхугольника BKDM — отрезки BD и MK — пересекаются в E. По условию E является серединой MK.

Так как ABCD — параллелограмм, его диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому точка E, лежащая на диагонали BD и на прямой MK, является серединой BD. Значит, диагонали четырёхугольника BKDM взаимно делятся пополам.

Если диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, то четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, BKDM — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.