Вопрос 5. Уточненная выборочная дисперсия $$S^2$$ случайной величины обладает следующими свойствами:

Решение:

Вопрос о свойствах уточненной выборочной дисперсии $$S^2$$. Уточненная выборочная дисперсия (или исправленная выборочная дисперсия) вычисляется по формуле \( S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \).

Основные свойства $$S^2$$ как оценки дисперсии генеральной совокупности \(D(X)\):

• Несмещенность: $$S^2$$ является несмещенной оценкой \(D(X)\), то есть \(M(S^2) = D(X)\).
• Состоятельность: $$S^2$$ является состоятельной оценкой \(D(X)\), то есть при увеличении объема выборки \(n\) дисперсия \(S^2\) стремится к \(D(X)\).
• Эффективность: Среди всех несмещенных оценок \(D(X)\) с наименьшей дисперсией является $$S^2$$ (при нормальном распределении генеральной совокупности).
• Состоятельность по отношению к истинной дисперсии: С увеличением объема выборки \(n\) оценка \(S^2\) сходится по вероятности к истинной дисперсии \(D(X)\).

Ответ: Уточненная выборочная дисперсия $$S^2$$ является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии генеральной совокупности \(D(X)\).