Вопрос № 6. ABCD — параллелограмм. O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Выразите вектор \(\overrightarrow{CO}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Обозначим через M середину стороны AB. Так как O — точка пересечения медиан треугольника ABC, она лежит на медиане CM и делит её в отношении 2:1, считая от вершины C.

Следовательно, \(\overrightarrow{CO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CM}\).

Поскольку M — середина AB, вектор из C к M равен полусумме векторов из C к A и из C к B: \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\).

Выразим их через заданные векторы: \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

Тогда \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})\), поэтому

\[\overrightarrow{CO}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{CO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).