Вопрос 8: Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 53°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как СМ — биссектриса внешнего угла BCD, то угол BCM равен углу MCD.

2. Угол MCD = 53° (по условию).

3. Следовательно, угол BCM = 53°.

4. Угол BCD = угол BCM + угол MCD = 53° + 53° = 106°.

5. Угол BCA — внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом BCD. Поэтому угол BCA = 180° - угол BCD = 180° - 106° = 74°.

6. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны (по условию), значит, треугольник равнобедренный.

7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы BAC и ABC являются углами при основании AC.

8. Угол BAC = угол ABC.

9. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

10. Угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180°.

11. Так как угол BAC = угол ABC, то 2 * угол BAC + угол BCA = 180°.

12. 2 * угол BAC + 74° = 180°.

13. 2 * угол BAC = 180° - 74° = 106°.

14. Угол BAC = 106° / 2 = 53°.

Ответ: 53