Вопрос: Интеграл 3cos3x dx от 0 до pi/6 равен (набрать число) Введите свой ответ

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3\cos(3x) dx \), сначала найдём первообразную для функции \( 3\cos(3x) \).

1. Общая формула для первообразной \( \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C \).
2. Применяя эту формулу к нашему интегралу: \( \int 3\cos(3x) dx = 3 \int \cos(3x) dx = 3 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + C = \sin(3x) + C \).
3. Теперь вычислим определённый интеграл, используя найденную первообразную \( F(x) = \sin(3x) \):

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3\cos(3x) dx = [\sin(3x)]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \sin(3 \cdot 0) \]

\[ = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \]

\[ = 1 - 0 = 1 \]

Ответ: 1