Вопрос: 7/7 Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y = x², y = x + 6.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций.

  Приравняем уравнения:

  \[x^2 = x + 6\]

  Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение:

  \[x^2 - x - 6 = 0\]

  Дискриминант: D = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25

  Корни:

  \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2*1} = \frac{1 + 5}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2*1} = \frac{1 - 5}{2} = -2\]

  Таким образом, графики пересекаются в точках x = -2 и x = 3.

• Шаг 2: Определим, какая функция больше на отрезке [-2, 3].

  На отрезке [-2, 3] функция y = x + 6 находится выше, чем y = x². Это можно проверить, взяв любую точку внутри интервала, например, x = 0: y(0) = 0 + 6 = 6 для прямой и y(0) = 0² = 0 для параболы.

• Шаг 3: Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций.

  Площадь S равна интегралу от -2 до 3 разности функций (x + 6) - x²:

  \[S = \int_{-2}^{3} (x + 6 - x^2) dx\]

  Интегрируем:

  \[S = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{3}\]

  Подставляем пределы интегрирования:

  \[S = \left( \frac{3^2}{2} + 6(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)\] \[S = \left( \frac{9}{2} + 18 - 9 \right) - \left( \frac{4}{2} - 12 + \frac{8}{3} \right)\] \[S = \left( 4.5 + 9 \right) - \left( 2 - 12 + \frac{8}{3} \right)\] \[S = 13.5 - \left( -10 + \frac{8}{3} \right)\] \[S = 13.5 + 10 - \frac{8}{3}\] \[S = 23.5 - \frac{8}{3}\] \[S = \frac{47}{2} - \frac{8}{3}\] \[S = \frac{141 - 16}{6}\] \[S = \frac{125}{6}\]

Ответ: 125/6