Вопрос: Определите сходимость ряда: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3(2n-1)}\)

Анализ ряда:

Рассмотрим общий член ряда: \(a_n = \frac{2n}{3(2n-1)}\).

Найдем предел общего члена ряда при \(n \to \infty\):

\[ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{3(2n-1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{6n-3} \]

Разделим числитель и знаменатель на \(n\):

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{2}{6 - \frac{3}{n}} = \frac{2}{6 - 0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Поскольку предел общего члена ряда \(\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{3} \) не равен нулю, то ряд расходится.

Ответ: Расходится, так как предел общего члена ряда не равен нулю.