Вопрос ∫(от 0 до π/2) 4 / cos²(2x) dx равен (наберите число) Введите свой ответ

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Пусть \( u = 2x \). Тогда \( du = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

Изменим пределы интегрирования:

• При \( x = 0 \), \( u = 2 \cdot 0 = 0 \).
• При \( x = \frac{\pi}{2} \), \( u = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \).

Подставим в интеграл:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4}{\cos^2(2x)} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{4}{\cos^2(u)} \frac{1}{2} du = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos^2(u)} du \]

Вспомним, что производная от \( \tan(u) \) равна \( \frac{1}{\cos^2(u)} \).

Таким образом, интеграл от \( \frac{1}{\cos^2(u)} \) равен \( \tan(u) \).

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ 2 \left[ \tan(u) \right]_{0}^{\pi} = 2 (\tan(\pi) - \tan(0)) \]

Мы знаем, что \( \tan(\pi) = 0 \) и \( \tan(0) = 0 \).

Следовательно:

\[ 2 (0 - 0) = 0 \]

Однако, необходимо учесть, что функция \( \tan(u) \) имеет разрывы при \( u = \frac{\pi}{2} \). В нашем случае, пределы интегрирования включают точку \( u = \frac{\pi}{2} \), где \( \cos(u) = 0 \). Это означает, что интеграл является несобственным.

Давайте перепишем интеграл как сумму двух:

\[ 2 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos^2(u)} du = 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2(u)} du + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{\cos^2(u)} du \right) \]

Рассмотрим первый несобственный интеграл:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2(u)} du = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} [\tan(u)]_{0}^{b} = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} (\tan(b) - \tan(0)) = \lim_{b \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(b) \]

Так как \( \tan(b) \) стремится к \( +\infty \) при \( b \to \frac{\pi}{2}^- \), этот интеграл расходится.

Поскольку одна из частей интеграла расходится, весь интеграл расходится.

Важно: в исходном задании пределы интегрирования \( 0 \) и \( \pi/2 \) относятся к переменной \( x \). В то время как \( \cos^2(2x) \) обращается в ноль при \( 2x = \pi/2 \), то есть при \( x = \pi/4 \). Поэтому интеграл является несобственным.

Пересчитаем, учитывая точку разрыва \( x = \pi/4 \) внутри интервала интегрирования [0, π/2].

\[ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2(2x)} dx = 2 \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(2x)} dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2(2x)} dx \right) \]

Вычислим первый несобственный интеграл:

\[ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2(2x)} dx = 2 \lim_{b \to \frac{\pi}{4}^-} \left[ \frac{1}{2} \tan(2x) \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \frac{\pi}{4}^-} (\tan(2b) - \tan(0)) = \lim_{b \to \frac{\pi}{4}^-} \tan(2b) \]

При \( b \to \frac{\pi}{4}^- \), \( 2b \to \frac{\pi}{2}^- \), и \( \tan(2b) \) стремится к \( +\infty \).

Так как один из несобственных интегралов расходится, весь интеграл расходится.

Примечание: Если бы вопрос предполагал, что \( \cos^2(2x) \) не обращается в ноль в пределах интегрирования, или если бы это был неопределенный интеграл, решение было бы другим. Однако, в данном случае, из-за точки разрыва, интеграл расходится.

Поскольку по условию задачи предполагается числовой ответ, вероятно, есть ошибка в постановке задачи или в интерпретации.

Если бы предполагался предельный переход, например, интеграл от 0 до π/4, то ответ был бы конечным.

Учитывая, что в подобных задачах часто подразумевается