Вопрос: 6/7 Ребро куба АBCDA1B1C1D1 равно 2. Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Найдите угол между прямой С₁О и плоскостью DCC1. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Решение:

• Обозначим ребро куба как a, которое равно 2.
• Точка O является центром квадрата ABCD. Следовательно, AO = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁OA. Катет C₁A является диагональю грани куба и равен \(a\sqrt{2}\). Катет AO равен \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Найдем тангенс угла между прямой C₁O и плоскостью ABCD (а значит, и плоскостью DCC₁), который равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(tg \\angle C_1OA = \\frac{C_1A}{AO} = \\frac{a\sqrt{2}}{\\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 2\).
• Угол, тангенс которого равен 2, не является табличным, поэтому запишем его как arctg(2).
• Однако, нам нужен угол между прямой C₁O и плоскостью DCC₁. Этот угол является дополнением до 90° угла между прямой C₁O и плоскостью ABCD.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный прямой C₁O, её проекцией на плоскость DCC₁ и перпендикуляром из точки O на плоскость DCC₁. Обозначим искомый угол как α.
• Тангенс угла α равен отношению катета OD к катету C₁D. OD = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (половина диагонали квадрата CDD₁C₁). C₁D = a (ребро куба).
• Тогда \(tg \\alpha = \\frac{OD}{C_1D} = \\frac{\\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \\frac{\sqrt{2}}{2}\, \).
• Таким образом, угол α = arctg(\( \\frac{\sqrt{2}}{2}\)) = 45°.