Вопрос 15 Решите неравенство х(х-1)(x+2)(x-3) ≤ 7 (сделайте замену переменной, исходя из симметрии множества корней левоі части неравенства относительно точки 1/2) Выберите один ответ: a. b. C. O d. (-1-√5; 1 + √5) (-1/2;1/2) Нет верных ответов 1-√5 1+√5 , 2 2

Ответ: d. \[ \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \]

Пошаговое решение:

• Преобразуем неравенство: \[ x(x-1)(x+2)(x-3) \le 7 \]
• Перегруппируем члены: \[ (x(x-1))((x+2)(x-3)) \le 7 \] \[ (x^2 - x)(x^2 - x - 6) \le 7 \]
• Введем замену переменной: Пусть \[ t = x^2 - x \]. Тогда: \[ t(t-6) \le 7 \]
• Решим неравенство относительно t: \[ t^2 - 6t - 7 \le 0 \] \[ (t-7)(t+1) \le 0 \]
• Найдем корни квадратного уравнения: \[ t_1 = 7, \quad t_2 = -1 \]
• Определим интервалы для t: \[ -1 \le t \le 7 \]
• Вернемся к исходной переменной x: \[ -1 \le x^2 - x \le 7 \] Разделим на два неравенства: \[ x^2 - x \ge -1 \] и \[ x^2 - x \le 7 \]
• Решим первое неравенство: \[ x^2 - x + 1 \ge 0 \]. Дискриминант \[ D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \]. Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \[ x^2 \] положительный, то неравенство верно для всех x.
• Решим второе неравенство: \[ x^2 - x - 7 \le 0 \]. Найдем корни уравнения \[ x^2 - x - 7 = 0 \]. Дискриминант \[ D = (-1)^2 - 4(1)(-7) = 1 + 28 = 29 \]. Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{29}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \]
• Определим интервал для x: Так как \[ x^2 - x - 7 \le 0 \], то \[ \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \]

Ответ: d. \[ \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \]