Вопрос 11 Решите уравнение 2 cos² х - 7 cos x = 2 sin² х (выучить всо тригонометрические формулы в предыдущем занятии) Выберите один ответ: a. b. c. d. x = ±(π/2 – arccos()) + 2πλ - - x = ±(π - arccos()) + 2k Нет верных ответов x = ±(π- ± (π - arccos()) + 2πκ

Ответ: x = ±(π - arccos(1/4)) + 2πk

Решение:

1. Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1:
• 2cos²x - 7cosx = 2sin²x
• 2cos²x - 7cosx = 2(1 - cos²x)
• 2cos²x - 7cosx = 2 - 2cos²x
• 4cos²x - 7cosx - 2 = 0
2. Сделаем замену переменной: t = cosx, тогда уравнение примет вид:
• 4t² - 7t - 2 = 0
3. Решаем квадратное уравнение:
• D = (-7)² - 4 * 4 * (-2) = 49 + 32 = 81
• t₁ = (7 + √81) / (2 * 4) = (7 + 9) / 8 = 16 / 8 = 2
• t₂ = (7 - √81) / (2 * 4) = (7 - 9) / 8 = -2 / 8 = -1/4
4. Возвращаемся к замене:
• cosx = 2 (не имеет решений, так как |cosx| ≤ 1)
• cosx = -1/4
5. Находим общее решение для cosx = -1/4:
• x = ±arccos(-1/4) + 2πk, k ∈ Z
• Так как arccos(-x) = π - arccos(x), то:
• x = ±(π - arccos(1/4)) + 2πk, k ∈ Z

Ответ: x = ±(π - arccos(1/4)) + 2πk