Вопрос: 5/7 Составьте уравнение сферы с диаметром АВ, если А(3; 0; 5) и B(3; 8; 11).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем координаты центра сферы (точка O) как середину отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат концов отрезка: \[O = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\] Подставляем координаты точек A(3; 0; 5) и B(3; 8; 11): \[O = \left(\frac{3 + 3}{2}, \frac{0 + 8}{2}, \frac{5 + 11}{2}\right) = (3, 4, 8)\]
• Шаг 2: Найдем радиус сферы как расстояние от центра O до точки A (или B). Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: \[R = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 + (z_A - z_O)^2}\] Подставляем координаты точек A(3; 0; 5) и O(3; 4; 8): \[R = \sqrt{(3 - 3)^2 + (0 - 4)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
• Шаг 3: Запишем уравнение сферы с центром в точке O(3, 4, 8) и радиусом R = 5. Общее уравнение сферы имеет вид: \[(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 + (z - z_O)^2 = R^2\] Подставляем значения координат центра и радиуса: \[(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 8)^2 = 5^2\] \[(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 8)^2 = 25\]

Ответ: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 8)^2 = 25