Вопрос: Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка: y"+y'-2y=0. Приведите решение данного уравнения. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида $$ay'' + by' + cy = 0$$, необходимо составить характеристическое уравнение: $$ar^2 + br + c = 0$$.

В данном случае уравнение $$y'' + y' - 2y = 0$$, следовательно характеристическое уравнение будет $$r^2 + r - 2 = 0$$.

Решим квадратное уравнение:

$$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$.

$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$.

$$r_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

$$r_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$.

Так как корни характеристического уравнения вещественные и различные, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $$y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$$, где $$c_1$$ и $$c_2$$ - произвольные постоянные.

Подставим найденные корни: $$y = c_1e^{1x} + c_2e^{-2x} = c_1e^x + c_2e^{-2x}$$.

Ответ: $$y=c_1e^{x}+c_2e^{-2x}$$