Вопрос: Дано обыкновенное дифференциальное равнение первого порядка: у' + = x². y4. x Приведите решение данного уравнения. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов z=(-3-ln|x|+C).x³. z=(-6-ln|x|+C)-x2. z=(-4-ln|x|+C)-x3.

Ответ: z=(-3-ln|x|+C)·x³

Уравнение имеет вид: \[y' + P(x)y = Q(x)y^n\]

Разделим обе части уравнения на \[y^4\]: \[y^{-4}y' + \frac{1}{x}y^{-3} = x^2\]

Пусть \[z = y^{-3}\, тогда \,z' = -3y^{-4}y'\]

Выразим \[y^{-4}y'\] через \[z'\]: \[y^{-4}y' = -\frac{1}{3}z'\]

Подставим в уравнение: \[-\frac{1}{3}z' + \frac{1}{x}z = x^2\]

Умножим на -3: \[z' - \frac{3}{x}z = -3x^2\]

Это линейное уравнение первого порядка вида: \[z' + P(x)z = Q(x)\]

Решение ищем в виде: \[z = u(x)v(x)\]

Тогда \[z' = u'v + uv'\]

Подставим в уравнение: \[u'v + uv' - \frac{3}{x}uv = -3x^2\]

Сгруппируем: \[u'v + u(v' - \frac{3}{x}v) = -3x^2\]

Приравняем выражение в скобках к нулю: \[v' - \frac{3}{x}v = 0\]

Решим это уравнение: \[\frac{dv}{dx} = \frac{3}{x}v\]

\[\frac{dv}{v} = \frac{3}{x}dx\]

Интегрируем обе части: \[\int \frac{dv}{v} = \int \frac{3}{x}dx\]

\[\ln|v| = 3\ln|x|\]

\[v = x^3\]

Подставим \[v = x^3\] в уравнение: \[u'x^3 = -3x^2\]

\[u' = -\frac{3x^2}{x^3}\]

\[u' = -\frac{3}{x}\]

\[\frac{du}{dx} = -\frac{3}{x}\]

\[du = -\frac{3}{x}dx\]

Интегрируем обе части: \[\int du = \int -\frac{3}{x}dx\]

\[u = -3\ln|x| + C\]

\[z = u(x)v(x) = (-3\ln|x| + C)x^3\]

\[y^{-3} = (-3\ln|x| + C)x^3\]

Но в условии у нас z, поэтому:\[z=(-3\ln|x|+C)·x³\]

Ответ: z=(-3-ln|x|+C)·x³