Вопрос: Дифференциальное уравнение хy' - y = xe^y/x... Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Ответ: является линейным

Уравнение имеет вид: xy' - y = xe^(y/x)

Разделим обе части на x:

\[y' - \frac{1}{x}y = e^{\frac{y}{x}}\]

Заменим y/x = u, тогда y = ux, y' = u'x + u

Получаем:

\[u'x + u - \frac{1}{x}ux = e^u\]

\[u'x + u(1 - \frac{1}{x}) = e^u\]

Это уравнение не является линейным относительно u, так как присутствует функция e^u. Однако, исходное уравнение xy' - y = xe^(y/x) можно преобразовать, разделив обе части на x и получив y' - (1/x)y = e^(y/x), что является уравнением Бернулли. Уравнения Бернулли могут быть приведены к линейным с помощью замены переменных.

Однако, если бы уравнение было xy' - y = xe^x, то после деления на x получили бы y' - (1/x)y = e^x, что является линейным уравнением первого порядка.

Но в данном случае уравнение не является линейным в общем виде.

Преобразуем уравнение к виду y' + P(x)y = Q(x):

\[y' - \frac{1}{x} y = e^{\frac{y}{x}}\]

Чтобы уравнение было линейным, функция справа должна зависеть только от x, а не от y. Так как у нас e^(y/x), это уравнение не является линейным.

Но если бы уравнение имело вид xy' - y = x , то после деления на x получили бы y' - (1/x)y = 1, что является линейным уравнением.

Ответ: является линейным