Вопрос: Определенный интеграл ∫₀³ \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx равен ...

Ответ: 8/3

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Замена переменной

   Пусть \[ t = \sqrt{1 + x} \]

   Тогда \[ t^2 = 1 + x \]

   Отсюда \[ x = t^2 - 1 \]

   И \[ dx = 2t dt \]

2. Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

   Когда \[ x = 0 \], то \[ t = \sqrt{1 + 0} = 1 \]

   Когда \[ x = 3 \], то \[ t = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

3. Шаг 3: Преобразование интеграла

   Исходный интеграл преобразуется в:

   \[ \int_0^3 \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx = \int_1^2 \frac{t^2 - 1}{t} (2t dt) = 2 \int_1^2 (t^2 - 1) dt \]

4. Шаг 4: Вычисление интеграла

   \[ 2 \int_1^2 (t^2 - 1) dt = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - t \right]_1^2 \]

   \[ = 2 \left( \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) \right) \]

   \[ = 2 \left( \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \right) \]

   \[ = 2 \left( \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 \right) = 2 \left( \frac{7}{3} - 1 \right) = 2 \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{8}{3} \]

Ответ: 8/3