Вопрос: Параллелепипед построен на векторах a = 31 +27-5k, b=1-3+4k, 2-1-3j+k Вычислите высоту һ данного параллелепипеда, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах а и б. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Ответ: h = \(\frac{49\sqrt{323}}{323}\)

Пошаговое решение:

Шаг 1: Находим смешанное произведение векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

Векторы заданы координатами: \[\vec{a} = (3, 2, -5)\] \[\vec{b} = (1, -1, 4)\] \[\vec{c} = (1, -3, 1)\]

Смешанное произведение равно определителю матрицы, составленной из координат векторов:

\[\begin{vmatrix} 3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot ((-1) \cdot 1 - 4 \cdot (-3)) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + (-5) \cdot (1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1) = 3 \cdot (11) - 2 \cdot (-3) - 5 \cdot (-2) = 33 + 6 + 10 = 49\]

Модуль смешанного произведения: \[|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |49| = 49\]

Шаг 2: Находим векторное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (это основание параллелепипеда).

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 4 - (-5) \cdot (-1)) - \vec{j}(3 \cdot 4 - (-5) \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) = 3\vec{i} - 17\vec{j} - 5\vec{k}\]

Таким образом, вектор \(\vec{a} \times \vec{b} = (3, -17, -5)\)

Шаг 3: Находим площадь основания (модуль векторного произведения).

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равна модулю их векторного произведения:

\[S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-17)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 289 + 25} = \sqrt{323}\]

Шаг 4: Вычисляем высоту.

Высота параллелепипеда равна модулю смешанного произведения, деленному на площадь основания:

\[h = \frac{|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|}{S} = \frac{49}{\sqrt{323}} = \frac{49\sqrt{323}}{323}\]

Ответ: h = \(\frac{49\sqrt{323}}{323}\)