Вопрос: Сумма элементов второй строки матрицы, обратной к матрице А = \(\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) равна ...

Ответ: 1

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим определитель матрицы A

\[\det(A) = 2(3 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - 2(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1(1 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = 0 + 2 - 3 = -1\]

• Шаг 2: Находим матрицу миноров

\[\begin{pmatrix} (3 \cdot 0 - 1 \cdot 0) & (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) & (1 \cdot 0 - 3 \cdot 1)\\ (2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) & (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) & (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1)\\ (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) & (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) & (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3\\ 0 & -1 & -2\\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}\]

• Шаг 3: Находим матрицу кофакторов

\[\begin{pmatrix} 0 & -(-1) & -3\\ -0 & -1 & -(-2)\\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3\\ 0 & -1 & 2\\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}\]

• Шаг 4: Находим транспонированную матрицу кофакторов (адъюнкт)

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & -1 & -1\\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}\]

• Шаг 5: Находим обратную матрицу, разделив адъюнкт на определитель

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & -1 & -1\\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & -2 & -4 \end{pmatrix}\]

• Шаг 6: Суммируем элементы второй строки обратной матрицы

\[-1 + 1 + 1 = 1\]

Ответ: 1