Вопросы: 1. Какая функция называется степенной? 2. Какое значение всегда принимает корень чётной степени? 3. Запишите свойства степени с натуральным показателем. 4. Запишите свойства степени с отрицательным показателем. 5. Запишите свойства корней.

Степенной называется функция вида y = xⁿ, где показатель степени n — заданное число. В школьном курсе степенной обычно называют функцию y = xᵃ с постоянным действительным показателем a; область определения зависит от a.

Арифметический корень чётной степени всегда неотрицателен: ⁿ√a ≥ 0 при чётном n и a ≥ 0.

Для натуральных n и m:

• aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ;
• aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, если a ≠ 0;
• (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ;
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ;
• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, если b ≠ 0.

При a ≠ 0 и натуральном n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Поэтому при a ≠ 0: aⁿ · a⁻ⁿ = 1.

Для корней, когда выражения определены:

• ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b;
• ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b, если знаменатель не равен нулю;
• (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ);
• ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n и ⁿ√(aⁿ) = a при нечётном n.

Для чётных корней подкоренные выражения должны быть неотрицательными.