Вопросы для повторения к главе ХІ 1 Начертите оси координат и постройте единичную полуокруж- ность. 2 Объясните, что такое синус и косинус угла а из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°. 3 Что называется тангенсом угла а? Для какого значения с тангенс не определён и почему? 4 Что называется котангенсом угла а? Для каких значений а котангенс не определён и почему? 5 Докажите основное тригонометрическое тождество. 6 Напишите формулы приведения. 7 Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неот- рицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. 8 Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 9 Сформулируйте и докажите теорему синусов. 10 Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 11 Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются. 12 Объясните, как определить высоту предмета, основание кото- рого недоступно. 13 Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки. 14 Объясните, что означают слова «угол между векторами а и в равен а». В каком случае угол между векторами считается равным 0°? 15 Какие два вектора называются перпендикулярными?

Давайте разберем вопросы для повторения к главе XI по геометрии.

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

Для этого начертим оси x и y, с центром в начале координат (0,0). Единичная полуокружность — это полуокружность радиуса 1, расположенная над осью x.

2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°.

Синус угла α (sin α) — это y-координата точки на единичной полуокружности, соответствующей углу α. Косинус угла α (cos α) — это x-координата этой же точки.

3. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

Тангенс угла α (tg α) — это отношение синуса угла к косинусу угла: tg α = sin α / cos α. Тангенс не определён, когда cos α = 0, то есть при α = 90°.

4. Что называется котангенсом угла α? Для каких значений α котангенс не определён и почему?

Котангенс угла α (ctg α) — это отношение косинуса угла к синусу угла: ctg α = cos α / sin α. Котангенс не определён, когда sin α = 0, то есть при α = 0° и α = 180°.

5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1. Это следует из теоремы Пифагора для единичной полуокружности.

6. Напишите формулы приведения.

Формулы приведения позволяют выражать тригонометрические функции углов, больших 90°, через функции углов, меньших 90°:

• sin(180° - α) = sin α
• cos(180° - α) = -cos α
• tg(180° - α) = -tg α
• ctg(180° - α) = -ctg α

7. Выведите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.

Если A(x, y), OA = r, и угол между OA и осью Ox равен α, то x = r * cos α и y = r * sin α.

8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: S = 0.5 * a * b * sin γ, где a и b — стороны, γ — угол между ними.

9. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Теорема синусов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ, где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — противолежащие им углы.

10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Теорема косинусов: c² = a² + b² - 2 * a * b * cos γ, где a, b — стороны треугольника, γ — угол между ними, c — сторона, противолежащая углу γ.

11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются.

Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов по известным данным. Три основные задачи:

1. По двум углам и стороне.
2. По двум сторонам и углу между ними.
3. По трём сторонам.

12. Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно.

Используют методы триангуляции и измерения углов с помощью теодолита и знания расстояния до другой точки.

13. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.

Аналогично, используют методы триангуляции, измеряя углы и зная расстояние до другой доступной точки.

14. Объясните, что означают слова «угол между векторами a и b равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?

Угол между векторами — это угол, образованный этими векторами, если их привести к общему началу. Угол между векторами равен 0°, если векторы сонаправлены.

15. Какие два вектора называются перпендикулярными?

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Ответ: Выше приведены ответы на вопросы для повторения.