Вопросы для повторения к главе III 1 Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными? 2 Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух пря- мых секущей. 3 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 4 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 5 Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые парал- лельны. 6 Расскажите о практических способах проведения параллель- ных прямых. 7 Объясните, какие утверждения называются аксиомами. При- ведите примеры аксиом. 8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной. 9 Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 10 Какое утверждение называется следствием? Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.

1

Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

2

Секущая по отношению к двум прямым - это прямая, пересекающая эти две прямые в двух разных точках.

При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

• Накрест лежащие углы
• Соответственные углы
• Односторонние углы

3

Пусть даны две прямые a и b, пересеченные секущей c. Если накрест лежащие углы равны, то прямые a и b параллельны. Это можно доказать от противного: предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке. Тогда образуется треугольник, в котором сумма двух углов не равна 180°, что противоречит условию равенства накрест лежащих углов. Следовательно, прямые a и b параллельны.

4

Пусть даны две прямые a и b, пересеченные секущей c. Если соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны. Это можно доказать, используя равенство соответственных углов и вертикальных углов, а затем применить доказательство из пункта 3 (накрест лежащие углы также будут равны).

5

Пусть даны две прямые a и b, пересеченные секущей c. Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые a и b параллельны. Это можно доказать, используя свойство смежных углов и условие, что сумма односторонних углов равна 180°. Тогда накрест лежащие углы будут равны, и, следовательно, прямые a и b параллельны.

6

Практические способы проведения параллельных прямых:

• Использование линейки и угольника.
• Использование рейсшины и чертежной доски.
• Использование строительного уровня и отвеса.

7

Аксиома - это утверждение, которое принимается без доказательства. Примеры аксиом:

• Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
• На любой прямой можно отложить отрезок данной длины, начиная от данной точки.

8

Доказательство основано на аксиоме параллельности: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

9

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

10

Следствием называется утверждение, которое выводится из других утверждений или аксиом. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Это можно доказать от противного: если бы прямая не пересекала вторую параллельную прямую, то она была бы ей параллельна, а это противоречит аксиоме параллельности, так как через одну точку можно провести только одну параллельную прямую.

Ответ: смотри решение выше