Вопросы для повторения к главе V 1 Что такое геометрическое место точек? Приведите примеры. 2 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла. 3 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 4 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? 5 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Основные понятия главы V:

1. Геометрическое место точек (ГМТ) – это фигура, состоящая из всех точек, обладающих заданным свойством, и только из них.
   

   Примеры:

   
   
   
   
   • ГМТ точек, равноудаленных от данной точки, – это окружность.
   
   
   • ГМТ точек, равноудаленных от двух данных точек, – это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
   
   
   
   


2. Теорема о биссектрисе угла: Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
   

   Доказательство:

   
   

   Пусть луч $$l$$ – биссектриса угла $$AOB$$. Возьмем произвольную точку $$M$$ на луче $$l$$. Проведем перпендикуляры $$MC$$ и $$MD$$ к сторонам $$OA$$ и $$OB$$ соответственно. В прямоугольных треугольниках $$MOC$$ и $$MOD$$ имеем: $$OC = OD$$ (по построению), $$OM = OM$$ (общая гипотенуза), $$\triangle MOC = \triangle MOD$$ по гипотенузе и катету. Следовательно, $$MC = MD$$, что и требовалось доказать.

   
   


3. Доказательство: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.
   

   Пусть $$AI$$ – биссектриса угла $$A$$, $$BI$$ – биссектриса угла $$B$$. Точка $$I$$ как точка биссектрисы угла $$A$$ равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AC$$. Точка $$I$$ как точка биссектрисы угла $$B$$ равноудалена от сторон $$BA$$ и $$BC$$. Следовательно, точка $$I$$ равноудалена от сторон $$AC$$ и $$BC$$. По теореме о биссектрисе угла, точка $$I$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$. Таким образом, все три биссектрисы пересекаются в точке $$I$$.

   
   


4. Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.


5. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку: Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
   

   Доказательство:

   
   

   Пусть $$l$$ – серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$. Пусть $$M$$ – произвольная точка на прямой $$l$$. Пусть $$O$$ – середина отрезка $$AB$$. Тогда $$AO = OB$$ и $$MO \bot AB$$. В прямоугольных треугольниках $$MAO$$ и $$MBO$$ имеем: $$AO = OB$$ (по условию), $$MO = MO$$ (общая сторона). Следовательно, $$\triangle MAO = \triangle MBO$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$MA = MB$$, что и требовалось доказать.