Вопросы для повторения к главе VI

1. Как измеряются площади многоугольников?

Площадь многоугольника измеряется с помощью единицы измерения площади — квадрата со стороной, равной единице длины. Площадь измеряется в квадратных единицах: квадратных миллиметрах (мм²), квадратных сантиметрах (см²), квадратных метрах (м²) и т.д.

2. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

Основные свойства площадей многоугольников:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.
2. Площадь многоугольника равна сумме площадей многоугольников, на которые он разделен.
3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

3. Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными?

Равновеликие многоугольники — это многоугольники, имеющие равные площади.

Равносоставленные многоугольники — это многоугольники, которые можно разрезать на конечное число одинаковых частей и из которых можно составить друг друга.

4. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство: Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами AB = a и BC = b. Площадь прямоугольника равна $$S = a \times b$$.

5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Площадь параллелограмма равна $$S = AD \times BH$$.

6. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство: Пусть дан треугольник ABC. Проведем высоту BH к стороне AC. Площадь треугольника равна $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BH$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если катеты равны a и b, то площадь $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$.

7. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Доказательство: Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C' с равными углами A и A'. Отношение их площадей равно $$\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = \frac{AB \times AC}{A'B' \times A'C'}$$.

8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Теорема: Площадь трапеции равна полупроизведению ее оснований на высоту.

Доказательство: Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC и высотой h. Площадь трапеции равна $$S = \frac{1}{2}(AD + BC) \times h$$.

9. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами a и b и гипотенузой c. Тогда $$a^2 + b^2 = c^2$$.

10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

11. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.

Пифагоровы треугольники — это прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами. Такие тройки чисел называются пифагоровыми тройками.

Примеры:

• (3, 4, 5): $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$
• (5, 12, 13): $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$
• (8, 15, 17): $$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

12. Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по длинам трех его сторон.

Пусть стороны треугольника равны a, b, c, а полупериметр $$p = \frac{a+b+c}{2}$$. Тогда площадь треугольника равна:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Вывод: Формула Герона является следствием теоремы Пифагора и тригонометрических формул.