Вопросы для повторения к главе VII 1 Что называется отношением двух отрезков? 2 В каком случае говорят, что отрезки АВ И CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С₁D₁? 3 Дайте определение подобных треугольников. 4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

1. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, измеренных в одной и той же единице измерения.

2. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если выполняется равенство $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} $$.

3. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

4. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

Пусть даны два подобных треугольника: ΔABC и ΔA₁B₁C₁. Тогда $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $$, где k - коэффициент подобия.

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA$$

$$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot sinA_1$$

Так как ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то ∠A = ∠A₁ и sinA = sinA₁.

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot sinA_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1} = k \cdot k = k^2$$

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, что и требовалось доказать.

5. Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.

Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠A₁ - ∠B₁ = ∠C₁.

Следовательно, углы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны.

Нужно доказать, что стороны пропорциональны, то есть $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$.

6. Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $$ и ∠A = ∠A₁.

Нужно доказать, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то есть что ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ и $$ \frac{BC}{B_1C_1} = k $$.

Ответ: Сформулированы определения и теоремы подобия треугольников.