Вопросы для повторения к главе VIII 1 Что называется отношением двух отрезков? ны отрезкам А,В и CD? 2 В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональ- 3 Дайте определение подобных треугольников. 4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников. 5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников. 6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников. 7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников. 8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре- угольника. 9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, счи- тая от вершины. 10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря- мого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. 11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональ- ных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Ответ: Вопросы по геометрии

1. Что называется отношением двух отрезков?




• Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одной и той же единице измерения.




2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁?




• Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если выполняется равенство отношений их длин: \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}\).




3. Дайте определение подобных треугольников.




• Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.




4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.




• Теорема: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.




5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.




• Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.




6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.




• Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.




7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.




• Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.




8. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.




• Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.


• Теорема: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.




9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.




• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.




10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.




• Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, разделяет его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику и друг другу.




11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.




• В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

Ответ: Вопросы по геометрии