Вопросы для повторения к главе VIII 1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы. 2 Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? 3 Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? 4 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной. 5 Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 6 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной. 7 Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности. 8 Какой угол называется центральным углом окружности? 9 Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности. 10 Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается? 11 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 12 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 13 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. 14 Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

1. Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом (r) и расстоянием от центра окружности до прямой (d): * Если d > r, то прямая и окружность не пересекаются. * Если d = r, то прямая является касательной к окружности. * Если d < r, то прямая является секущей и пересекает окружность в двух точках. 2. Прямая называется *секущей* по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках. 3. Прямая называется *касательной* к окружности, если она имеет с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется *точкой касания*. 4. Теорема о свойстве касательной: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 5. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны. Линия, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными пополам. 6. Теорема, обратная теореме о свойстве касательной: Если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности. 7. Чтобы провести касательную к окружности через данную точку на окружности, нужно провести радиус в эту точку и затем построить прямую, перпендикулярную этому радиусу в данной точке. 8. *Центральным углом* окружности называется угол с вершиной в центре окружности. 9. *Полуокружность* — это дуга, равная половине окружности. Дуга может быть *меньше полуокружности* (меньше половины окружности) или *больше полуокружности* (больше половины окружности). 10. Градусная мера дуги определяется градусной мерой соответствующего центрального угла. Обозначается символом ◡ над названием дуги (например, ◡AB). 11. *Вписанным углом* называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. 12. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 13. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, является прямым (равен 90 градусам), так как опирается на дугу в 180 градусов. 14. Теорема об отрезках пересекающихся хорд: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.