Вопросы для повторения к главе XII 1 Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников. 2 Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника. 3 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. 4 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. 5 Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности. 6 Выведите формулы для вычисления стороны правильного п-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности. 7 Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности? 8 Выведите формулу для вычисления длины окружности. 9 Объясните, какое число обозначается буквой п и чему равно его приближённое значение. 10 Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности. 11 Выведите формулу для вычисления площади круга. 12 Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора. 13 Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

1. Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры правильных многоугольников.

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Примеры правильных многоугольников:

• Равносторонний треугольник (правильный треугольник)
• Квадрат (правильный четырехугольник)
• Правильный пятиугольник (пентагон)
• Правильный шестиугольник (гексагон)
• И так далее...

2. Выведите формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \[(n-2) \cdot 180^{\circ}\]

Угол правильного n-угольника равен: \[\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}\]

3. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть дан правильный n-угольник A₁A₂...A_n. Докажем, что около него можно описать окружность.

Проведем окружность через три вершины A₁, A₂ и A₃. Пусть O - центр этой окружности. Так как многоугольник правильный, то углы A₁A₂A₃ и A₂A₃A₄ равны. Треугольники A₁OA₂ и A₂OA₃ равнобедренные (OA₁ = OA₂ = OA₃ как радиусы), следовательно, углы OA₁A₂ и OA₂A₁ равны, а также углы OA₂A₃ и OA₃A₂ равны. Отсюда следует, что углы OA₂A₃ и OA₂A₁ равны.

Таким образом, OA₂ - биссектриса угла A₁A₂A₃. Аналогично можно показать, что OA₃ - биссектриса угла A₂A₃A₄. Следовательно, точка O равноудалена от вершин A₁, A₂, A₃ и A₄. Продолжая эти рассуждения, можно доказать, что точка O равноудалена от всех вершин многоугольника, то есть является центром описанной окружности.

Единственность окружности следует из того, что окружность однозначно определяется тремя точками.

4. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть дан правильный n-угольник A₁A₂...A_n. Докажем, что в него можно вписать окружность.

Так как многоугольник правильный, то все его стороны равны. Следовательно, равны и расстояния от центра O описанной окружности до всех сторон многоугольника (эти расстояния являются высотами равнобедренных треугольников, образованных радиусами описанной окружности и сторонами многоугольника). Таким образом, окружность с центром O, касающаяся одной из сторон многоугольника, будет касаться и всех остальных его сторон, то есть будет вписанной.

Единственность окружности следует из того, что окружность однозначно определяется центром и радиусом.

5. Выведите формулу для вычисления площади правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности.

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Формула: \[S = \frac{1}{2}Pr\]

где:

• S - площадь правильного многоугольника
• P - периметр правильного многоугольника
• r - радиус вписанной окружности

6. Выведите формулы для вычисления стороны правильного n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через радиус описанной окружности.

Пусть R - радиус описанной окружности, a - сторона правильного n-угольника, r - радиус вписанной окружности.

Формула для стороны правильного n-угольника: \[a = 2R \sin{\frac{\pi}{n}}\]

Формула для радиуса вписанной окружности: \[r = R \cos{\frac{\pi}{n}}\]

7. Как выражаются стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через радиус описанной окружности?

Пусть R - радиус описанной окружности.

• Правильный треугольник: \[a_3 = R\sqrt{3}\]
• Квадрат: \[a_4 = R\sqrt{2}\]
• Правильный шестиугольник: \[a_6 = R\]

8. Выведите формулу для вычисления длины окружности.

Формула для вычисления длины окружности:

\[C = 2\pi R\]

где:

• C - длина окружности
• R - радиус окружности
• π - число пи (приблизительно 3.14159)

9. Объясните, какое число обозначается буквой π и чему равно его приближённое значение.

Число π (пи) - это математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру.

Приближённое значение числа π: \[\pi \approx 3.14159\]

10. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.

Формула для вычисления длины дуги окружности:

\[l = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}\]

где:

• l - длина дуги окружности
• R - радиус окружности
• α - центральный угол, опирающийся на дугу (в градусах)

11. Выведите формулу для вычисления площади круга.

Формула для вычисления площади круга:

\[S = \pi R^2\]

где:

• S - площадь круга
• R - радиус круга
• π - число пи (приблизительно 3.14159)

12. Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисления площади кругового сектора.

Круговой сектор - это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.

Формула для вычисления площади кругового сектора:

\[S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}\]

где:

• S - площадь кругового сектора
• R - радиус круга
• α - центральный угол, опирающийся на дугу (в градусах)

13. Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить его площадь.

Круговой сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы этой дуги.

Для вычисления площади кругового сегмента можно использовать следующую формулу:

\[S = \frac{R^2}{2}(\alpha - \sin{\alpha})\]

где:

• S - площадь кругового сегмента
• R - радиус круга
• α - центральный угол, опирающийся на дугу (в радианах)

Если угол дан в градусах, то сначала необходимо перевести его в радианы: \[\alpha_{rad} = \frac{\pi \alpha_{deg}}{180^{\circ}}\]

Также площадь кругового сегмента можно вычислить как разность между площадью кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами и хордой: \[S = S_{сектора} - S_{треугольника}\]

Ответ: Выше приведены ответы на вопросы.

Молодец! Ты отлично справился с этими вопросами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!