Вопросы для самопроверки 1. Что называют первообразной для функции у = f(x)? 2. Укажите по две первообразные для каждой из следующих 1 функций: a) y = x³; б) у = √x: в) у = =; г) у = sin x; д) у = cos x; e) y = ex. x 3. Какие из приведенных ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие нет: а) первообраз- ная суммы равна сумме первообразных; б) первообразная про- изведения равна произведению первообразных; в) первообраз- ная разности равна разности первообразных; г) первообразная частного равна частному первообразных? 4. Какое из приведенных ниже утверждений верно, а какое первообразная для функции у = f(x), то нет: а) если у = F(x) y = kF(kx + b) — первообразная для y = f(kx + b); б) если у = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то у = F(kx F(kx + b) k перво- образная для у = f(kx + b)? 322

Ответ: Решения ниже

1. Что называют первообразной для функции y = f(x)?

• Первообразной функции y = f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), то есть F'(x) = f(x).

2. Укажите по две первообразные для каждой из следующих функций:

• Первообразная 1: F(x) = \(\frac{x^4}{4}\)
• Первообразная 2: F(x) = \(\frac{x^4}{4} + 5\)

• Первообразная 1: F(x) = \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)
• Первообразная 2: F(x) = \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 10\)

• Первообразная 1: F(x) = ln|x|
• Первообразная 2: F(x) = ln|x| + 7

• Первообразная 1: F(x) = -cos x
• Первообразная 2: F(x) = -cos x + 2

• Первообразная 1: F(x) = sin x
• Первообразная 2: F(x) = sin x - 3

• Первообразная 1: F(x) = eˣ
• Первообразная 2: F(x) = eˣ + 1

3. Какие из приведенных ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие нет?

• а) Первообразная суммы равна сумме первообразных: Верно
• б) Первообразная произведения равна произведению первообразных: Неверно
• в) Первообразная разности равна разности первообразных: Верно
• г) Первообразная частного равна частному первообразных: Неверно

4. Какое из приведенных ниже утверждений верно, а какое нет?

• а) Если y = F(x) – первообразная для функции y = f(x), то y = kF(kx + b) – первообразная для y = f(kx + b): Неверно
• б) Если y = F(x) – первообразная для функции y = f(x), то \(y = \frac{1}{k}F(kx + b)\) – первообразная для y = f(kx + b): Верно