12. Восемь друзей пожали друг другу руки. Сколько всего было сделано рукопожатий? Запиши решение и ответ.

Решение: Представим, что каждый из восьми друзей по очереди пожимает руку остальным. Первый друг пожмет руку 7 другим друзьям. Второй друг пожмет руку 6 другим друзьям (потому что с первым он уже поздоровался). Третий друг пожмет руку 5 другим друзьям (с первыми двумя он уже поздоровался) и так далее. Тогда общее количество рукопожатий можно рассчитать следующим образом: $$7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$$ Другой способ решения - использование формулы для количества сочетаний из n элементов по 2: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ В нашем случае n = 8 (количество друзей), k = 2 (потому что в каждом рукопожатии участвуют 2 человека). $$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$ Ответ: **28**