Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке x₀.

Решение:

Для нахождения производной воспользуемся определением производной функции в точке: \( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \).

а) \( y = x^2 + 2x \), \( x_0 = 3 \)

1. Найдём \( f(x_0) \): \( f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 \).
2. Найдём \( f(x_0 + \Delta x) \): \( f(3 + \Delta x) = (3 + \Delta x)^2 + 2(3 + \Delta x) = 9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2 + 6 + 2\Delta x = 15 + 8\Delta x + (\Delta x)^2 \).
3. Найдём разность \( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \): \( (15 + 8\Delta x + (\Delta x)^2) - 15 = 8\Delta x + (\Delta x)^2 \).
4. Найдём отношение: \( \frac{8\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 8 + \Delta x \).
5. Вычислим предел: \( \lim_{\Delta x \to 0} (8 + \Delta x) = 8 \).

Ответ: 8

б) \( y = \frac{1}{x} \), \( x_0 = 0 \)

Примечание: Функция \( y = \frac{1}{x} \) не определена в точке \( x_0 = 0 \), поэтому производная в этой точке не существует.

в) \( y = 3x^2 - 4x \), \( x_0 = -2 \)

1. Найдём \( f(x_0) \): \( f(-2) = 3(-2)^2 - 4(-2) = 3(4) + 8 = 12 + 8 = 20 \).
2. Найдём \( f(x_0 + \Delta x) \): \( f(-2 + \Delta x) = 3(-2 + \Delta x)^2 - 4(-2 + \Delta x) = 3(4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) + 8 - 4\Delta x = 12 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 8 - 4\Delta x = 20 - 16\Delta x + 3(\Delta x)^2 \).
3. Найдём разность \( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \): \( (20 - 16\Delta x + 3(\Delta x)^2) - 20 = -16\Delta x + 3(\Delta x)^2 \).
4. Найдём отношение: \( \frac{-16\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = -16 + 3\Delta x \).
5. Вычислим предел: \( \lim_{\Delta x \to 0} (-16 + 3\Delta x) = -16 \).

Ответ: -16

г) \( y = \frac{4}{x} \), \( x_0 = -1 \)

1. Найдём \( f(x_0) \): \( f(-1) = \frac{4}{-1} = -4 \).
2. Найдём \( f(x_0 + \Delta x) \): \( f(-1 + \Delta x) = \frac{4}{-1 + \Delta x} \).
3. Найдём разность \( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \): \( \frac{4}{-1 + \Delta x} - (-4) = \frac{4}{-1 + \Delta x} + 4 = \frac{4 + 4(-1 + \Delta x)}{-1 + \Delta x} = \frac{4 - 4 + 4\Delta x}{-1 + \Delta x} = \frac{4\Delta x}{-1 + \Delta x} \).
4. Найдём отношение: \( \frac{\frac{4\Delta x}{-1 + \Delta x}}{\Delta x} = \frac{4}{-1 + \Delta x} \).
5. Вычислим предел: \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4}{-1 + \Delta x} = \frac{4}{-1} = -4 \).

Ответ: -4