17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Решим задачу:

Пусть задуманное число равно $$10a+b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа.

По условию задачи составим уравнение:

$$ (10a+b) \cdot a \cdot b = 408 $$

Разложим число 408 на простые множители: $$408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17$$

Переберем возможные варианты значений для $$a$$ и $$b$$, учитывая, что $$a$$ и $$b$$ - цифры, то есть числа от 1 до 9.

Так как 17 - простое число, то один из множителей (10a + b), a или b должен быть равен 17 или содержать его в качестве множителя.

Поскольку $$10a + b$$ - двузначное число, рассмотрим варианты:

• Если $$a=1$$, то $$ (10+b) \cdot b = 408 $$, что не имеет целых решений для $$b$$.
• Если $$a=2$$, то $$ (20+b) \cdot 2 \cdot b = 408 $$, или $$ (20+b) \cdot b = 204 $$. Ближайшие варианты: $$ (20+4) \cdot 4 = 96 $$, $$ (20+5) \cdot 5 = 125 $$, $$ (20+6) \cdot 6 = 156 $$, $$ (20+7) \cdot 7 = 189 $$, $$ (20+8) \cdot 8 = 224 $$. Решений нет.
• Если $$a=3$$, то $$ (30+b) \cdot 3 \cdot b = 408 $$, или $$ (30+b) \cdot b = 136 $$. Ближайшие варианты: $$ (30+4) \cdot 4 = 136 $$. Таким образом, $$b = 4$$.

Подставим найденные значения $$a = 3$$ и $$b = 4$$ в исходное выражение:

$$(10 \cdot 3 + 4) \cdot 3 \cdot 4 = 34 \cdot 3 \cdot 4 = 34 \cdot 12 = 408$$

Условие выполняется.

Следовательно, задуманное число равно 34.

Ответ: 34