17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Решение:

Пусть загаданное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ - первая цифра, $$b$$ - вторая цифра. Тогда, согласно условию задачи, имеем:

$$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 408 $$

Разложим число 408 на простые множители:

$$ 408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17 $$

Так как загаданное число двузначное, $$10a + b$$ должно быть больше или равно 10 и меньше 100. Также, $$a$$ и $$b$$ - цифры, то есть целые числа от 1 до 9.

Заметим, что один из множителей должен быть равен 17, так как 17 - простое число и входит в разложение 408.

Если $$10a + b = 17$$, то $$a = 1, b = 7$$. Подставим эти значения в уравнение:

$$ 17 \cdot 1 \cdot 7 = 119
eq 408 $$

Значит, число 17 не равно самому загаданному числу. Однако, может быть так, что произведение $$a \cdot b = 17$$. Но 17 простое число и не представимо в виде произведения двух цифр.

Проверим другие возможные произведения, содержащие 17.

Рассмотрим, что $$a \cdot (10a + b) = 17 \cdot k$$, где $$k$$ делитель числа 408.

Пусть $$a = 2$$. Тогда, разделим 408 на 2, получим 204. Тогда должно выполняться условие: $$(10a + b) \cdot b = 204 $$

Пусть $$b = 6 $$. Тогда число равно 26. Выполним проверку:

$$26 \cdot 2 \cdot 6 = 312
eq 408$$. Не подходит.

Пусть $$b = 4 $$. Тогда число равно 24. Выполним проверку:

$$ 24 \cdot 2 \cdot 4 = 192
eq 408$$. Не подходит.

Пусть $$ a = 3$$. Тогда, разделим 408 на 3, получим 136. Должно выполняться условие: $$(10a + b) \cdot b = 136$$

Рассмотрим число 34: $$34 \cdot 3 \cdot 4 = 408$$

Таким образом, число 34 удовлетворяет условиям.

Ответ: 34