17. Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Воспользуемся методом подбора, чтобы найти загаданное число. Пусть a - первая цифра, b - вторая цифра двузначного числа, которое загадал Вова. Тогда можно записать уравнение:

$$ (10a + b) \cdot a \cdot b = 408 $$

Разложим 408 на простые множители: $$408 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17$$. Двузначное число 10a + b должно быть делителем 408. Перебираем возможные варианты двузначных чисел:

1. Если предположить, что 10a + b = 17, то a = 1 и b = 7. Подставим эти значения в уравнение:

   $$ 17 \cdot 1 \cdot 7 = 119 $$

   Это не равно 408, поэтому 17 не является решением.

2. Если предположить, что 10a + b = 24, то a = 2 и b = 4. Подставим эти значения в уравнение:

   $$ 24 \cdot 2 \cdot 4 = 192 $$

   Это не равно 408, поэтому 24 не является решением.

3. Если предположить, что 10a + b = 34, то это невозможно, так как 34 не является делителем 408.

4. Если предположить, что 10a + b = 51, то это невозможно, так как 51 не является делителем 408.

5. Если предположить, что 10a + b = 68, то это невозможно, так как 68 не является делителем 408.

6. Если предположить, что 10a + b = 12, то a = 1 и b = 2. Подставим эти значения в уравнение:

   $$ 12 \cdot 1 \cdot 2 = 24 $$

   Это не равно 408, поэтому 12 не является решением.

7. Если предположить, что 10a + b = 408/(a*b), то a*b должно быть делителем 408.

Пусть a = 2, b = 6. Тогда (26)*2*6 = 312

Пусть a = 3, b = 4. Тогда (34)*3*4 = 408.

Следовательно, Вова загадал число 34.

Ответ: 34