6. Возможно ли? Маша отметила несколько точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. И соединила каждые две точки отрезком. Могло ли количество отрезков, которые нарисовала Маша, быть равно 66?

Решение:

Число отрезков, которые можно провести через n точек, вычисляется по формуле комбинаторики:

\[C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\]

где C - это число сочетаний, n - количество точек.

Нам нужно найти такое n, чтобы выполнялось равенство:

\[\frac{n(n-1)}{2} = 66\]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[n(n-1) = 132\]

Раскроем скобки:

\[n^2 - n = 132\]

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[n^2 - n - 132 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -132

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{529}}{2} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{529}}{2} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11\]

Так как количество точек не может быть отрицательным, то подходит только n = 12.

Таким образом, Маша могла отметить 12 точек, чтобы получить 66 отрезков.

Ответ: да, возможно