Возведите многочлены в куб: a) (5x+2n)³; б) (1/3c+2m)³.

Решение:

Чтобы возвести многочлен в куб, используем формулу куба суммы: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).

а) \( (5x+2n)^3 \)

1. Определим \( a = 5x \) и \( b = 2n \).
2. Применим формулу:

\[ (5x+2n)^3 = (5x)^3 + 3(5x)^2(2n) + 3(5x)(2n)^2 + (2n)^3 \] \[ = 125x^3 + 3(25x^2)(2n) + 3(5x)(4n^2) + 8n^3 \] \[ = 125x^3 + 150x^2n + 60xn^2 + 8n^3 \]

б) \( (\frac{1}{3}c+2m)^3 \)

1. Определим \( a = \frac{1}{3}c \) и \( b = 2m \).
2. Применим формулу:

\[ (\frac{1}{3}c+2m)^3 = (\frac{1}{3}c)^3 + 3(\frac{1}{3}c)^2(2m) + 3(\frac{1}{3}c)(2m)^2 + (2m)^3 \] \[ = \frac{1}{27}c^3 + 3(\frac{1}{9}c^2)(2m) + 3(\frac{1}{3}c)(4m^2) + 8m^3 \] \[ = \frac{1}{27}c^3 + \frac{6}{9}c^2m + 4cm^2 + 8m^3 \] \[ = \frac{1}{27}c^3 + \frac{2}{3}c^2m + 4cm^2 + 8m^3 \]

Ответ: а) \( 125x^3 + 150x^2n + 60xn^2 + 8n^3 \); б) \( \frac{1}{27}c^3 + \frac{2}{3}c^2m + 4cm^2 + 8m^3 \).