Вписанная и описанная окружности четырехугольника. Два угла окружности равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов.

Решение:

В четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

Пусть углы четырехугольника равны \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \).

По условию, два угла равны \( \alpha = 82^{\circ} \) и \( \beta = 58^{\circ} \).

Так как это вписанный четырехугольник, то сумма противоположных углов равна 180°.

Пусть \( \alpha \) и \( \gamma \) — противоположные углы, а \( \beta \) и \( \delta \) — противоположные углы.

Тогда:

• \( \alpha + \gamma = 180^{\circ} \)
• \( 82^{\circ} + \gamma = 180^{\circ} \)
• \( \gamma = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \)

И

• \( \beta + \delta = 180^{\circ} \)
• \( 58^{\circ} + \delta = 180^{\circ} \)
• \( \delta = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \)

Углы четырехугольника равны 82°, 58°, 98°, 122°.

Сравним полученные углы: 82°, 58°, 98°, 122°.

Наибольший угол — 122°.

Примечание: В задаче указано «Два угла окружности равны». Вероятно, имелись в виду два угла четырехугольника, вписанного в окружность.

Ответ: 122°.