9.2. Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон АВ, ВС и СА соответственно в точках С₁, А₁ и В₁. Найдите углы треугольника А1В1С1, если ∠A = 38°, ∠B = 86°.

Рассмотрим треугольник ABC.

Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда угол C равен:

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 38° - 86° = 56°$$

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Тогда:

$$AB_1=AC_1, BA_1=BC_1, CA_1=CB_1$$

Следовательно, треугольники $$AB_1C_1, BA_1C_1, CA_1B_1$$ – равнобедренные.

Рассмотрим треугольник $$AB_1C_1$$

$$∠AB_1C_1 = ∠AC_1B_1 = \frac{180°-∠A}{2} = \frac{180°-38°}{2} = 71°$$

Рассмотрим треугольник $$BA_1C_1$$

$$∠BA_1C_1 = ∠BC_1A_1 = \frac{180°-∠B}{2} = \frac{180°-86°}{2} = 47°$$

Рассмотрим треугольник $$CA_1B_1$$

$$∠CA_1B_1 = ∠CB_1A_1 = \frac{180°-∠C}{2} = \frac{180°-56°}{2} = 62°$$

Найдем углы треугольника $$A_1B_1C_1$$

$$∠A_1 = ∠BA_1C_1 + ∠CA_1B_1 = 47° + 62° = 109°$$ $$∠B_1 = ∠AB_1C_1 + ∠CB_1A_1 = 71° + 62° = 133°$$ $$∠C_1 = ∠AC_1B_1 + ∠BC_1A_1 = 71° + 47° = 118°$$

Ответ: ∠A₁ = 109°, ∠B₁ = 133°, ∠C₁ = 118°