Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Пусть ∠ABC – вписанный угол окружности с центром O, опирающийся на дугу AC (рис. 218). Докажем, что $$ \angle AOC = \frac{1}{2} \cup AC $$. Рассмотрим три возможных случая расположения луча BO относительно угла ABC.

1. Луч BO совпадает с одной из сторон угла ABC, например, со стороной BC (рис. 218, a). В этом случае дуга AC меньше полуокружности, поэтому $$ \angle AOC = \cup AC $$. Так как угол AOC – внешний угол равнобедренного треугольника ABO, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то $$ \angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1 $$.

   Отсюда следует, что $$ 2\angle 1 = \cup AC $$, или $$ \angle ABC = \angle 1 = \frac{1}{2} \cup AC $$.

2. Луч BO делит угол ABC на два угла. В этом случае луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу AC на две дуги: $$ \cup AD $$ и $$ \cup DC $$. По доказанному в п. 1: $$ \angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD $$ и $$ \angle DBC = \frac{1}{2} \cup DC $$. Складывая эти равенства, получаем:

   $$ \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC $$, или $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC $$.

3. Луч BO не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно.