Впишите правильный ответ. Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а tg BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Задание 1. Ромб

Дано:

• Диагональ ромба \( AC = 48 \).
• \( \text{tg } ∠BCA = \frac{7}{24} \).

Найти: радиус вписанной окружности \( r \).

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).

В прямоугольном треугольнике \( ∆BOC \):

\( \text{tg } ∠BCA = \frac{BO}{OC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{7}{24} = \frac{BO}{24} \)

Отсюда \( BO = 7 \).

Диагональ \( BD = 2 \times BO = 2 \times 7 = 14 \).

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали.

\( S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 48 \times 14 = 24 \times 14 = 336 \).

Также площадь ромба равна произведению его стороны на высоту \( h \): \( S = a \times h \). Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} \), следовательно \( h = 2r \).

\( S = a \times 2r \).

Сторону ромба \( a \) (гипотенузу \( ∆BOC \)) найдём по теореме Пифагора:

\( BC^2 = BO^2 + OC^2 \)

\( a^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \)

\( a = √{625} = 25 \).

Теперь найдём радиус:

\( 336 = 25 \times 2r \)

\( 336 = 50r \)

\( r = \frac{336}{50} = \frac{168}{25} = 6.72 \).

Ответ: 6.72