Впишите правильный ответ. Диагональ АС ромба ABCD равна 12, а tg BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

Известна одна диагональ \( AC = 12 \). Нужно найти вторую диагональ \( BD \).

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — \( O \). Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BOC \). \( \angle BOC = 90^{\circ} \).

По условию \( \text{tg } \angle BCA = 0.25 = \frac{1}{4} \).

В треугольнике \( BOC \) катет, противолежащий углу \( \angle BCA \), — это \( BO \), а прилежащий катет — \( OC \).

Следовательно, \( \text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \).

Подставим известные значения: \( \frac{1}{4} = \frac{BO}{6} \).

Отсюда \( BO = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{6}{4} = 1.5 \).

Вторая диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 1.5 = 3 \).

Теперь найдём площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \).

Ответ: 18.