Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции y = (7-x)·e^(7-x).

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( y = (7-x) \cdot e^{7-x} \), нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Найдем производную функции, используя правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 7-x \) и \( v = e^{7-x} \).
2. Производная \( u' = (7-x)' = -1 \).
3. Производная \( v' = (e^{7-x})' = e^{7-x} \cdot (7-x)' = e^{7-x} \cdot (-1) = -e^{7-x} \).
4. Теперь найдем производную функции \( y' \):
   \[ y' = (-1) \cdot e^{7-x} + (7-x) \cdot (-e^{7-x}) \]
   \[ y' = -e^{7-x} - (7-x)e^{7-x} \]
5. Вынесем общий множитель \( -e^{7-x} \):
   \[ y' = -e^{7-x} (1 + (7-x)) \]
   \[ y' = -e^{7-x} (1 + 7 - x) \]
   \[ y' = -e^{7-x} (8 - x) \]
6. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ -e^{7-x} (8 - x) = 0 \]
7. Поскольку \( e^{7-x} \) всегда больше нуля, то для равенства нулю необходимо, чтобы \( 8-x = 0 \).
8. Отсюда следует, что \( x = 8 \).
9. Теперь определим, является ли эта точка точкой минимума. Для этого проанализируем знак производной при \( x < 8 \) и \( x > 8 \).
10. Если \( x < 8 \), то \( 8-x > 0 \), и \( y' = -e^{7-x} \cdot (\text{положительное число}) < 0 \). Функция убывает.
11. Если \( x > 8 \), то \( 8-x < 0 \), и \( y' = -e^{7-x} \cdot (\text{отрицательное число}) > 0 \). Функция возрастает.
12. Следовательно, при \( x = 8 \) происходит смена знака производной с минуса на плюс, что означает точку минимума.

Ответ: Точка минимума функции достигается при x = 8.