Впишите правильный ответ. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 17. Найдите длину основания ВС.

Решение:

Обозначим трапецию как ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее. Высота, проведённая из вершины C, обозначим как CH. Точка H лежит на основании AD.

По условию, основание AD делится на отрезки длиной 8 и 17. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, отсекает отрезок, равный полуразности оснований, а также отрезок, равный меньшему основанию. Если высота опущена из вершины острого угла, то она отсекает отрезок, равный полусумме оснований. В данном случае, трапеция равнобедренная, и высота CH делит основание AD на отрезки AH и HD. Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC)/2.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Точка H лежит между A и D. Пусть AH = 8, HD = 17. Тогда AD = AH + HD = 8 + 17 = 25. В этом случае BC = AD - 2*AH = 25 - 2*8 = 25 - 16 = 9.
2. Случай 2: Точка H лежит вне отрезка AD. В равнобедренной трапеции, если высота опущена из вершины C, то точка H падает на основание AD. Если бы это была не равнобедренная трапеция, или высота была бы опущена из другой вершины, то мы могли бы иметь иные случаи. В равнобедренной трапеции, высота, опущенная из вершины C, падает на основание AD. Отрезки, на которые делится основание AD, это AH и HD. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Проведём высоту BH1 из вершины B на AD. Тогда ABH1 — прямоугольный треугольник, и AH1 = (AD - BC)/2. В прямоугольном треугольнике CHD, HD = AH1.

В условиях задачи, высота из C делит основание AD на отрезки 8 и 17. Пусть H — основание высоты. Тогда возможны два варианта разбиения AD:

1. AH = 8, HD = 17. Тогда AD = 25. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Также, проведя высоту из B на AD, получим BH1 = CH, и AH1 = HD = 17. Но тогда BC = AD - AH1 - HD = 25 - 17 - 17 = -9, что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

2. HD = 8, AH = 17. Тогда AD = 17 + 8 = 25. В равнобедренной трапеции AH = (AD - BC)/2. То есть, 17 = (25 - BC)/2. Отсюда 34 = 25 - BC. Это дает BC = 25 - 34 = -9, что невозможно.

Рассмотрим случай, когда высота из C делит основание AD. Так как трапеция равнобедренная, то проекции боковых сторон на большее основание равны. Пусть C H - высота, H на AD. Тогда HD = (AD - BC) / 2, а AH = AD - HD = AD - (AD - BC) / 2 = (AD + BC) / 2. По условию, эти отрезки равны 8 и 17.

Случай 1: HD = 8, AH = 17. Тогда AD = AH + HD = 17 + 8 = 25. Из формулы AH = (AD + BC) / 2, имеем 17 = (25 + BC) / 2. Отсюда 34 = 25 + BC, что даёт BC = 9.

Случай 2: HD = 17, AH = 8. Тогда AD = AH + HD = 8 + 17 = 25. Из формулы AH = (AD + BC) / 2, имеем 8 = (25 + BC) / 2. Отсюда 16 = 25 + BC, что даёт BC = -9. Этот случай невозможен.

Следовательно, длина основания BC равна 9.

Ответ: 9