* 7 Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции у = х³ + 30x² + 225x + 23.

Ответ: -5

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = 3x^2 + 60x + 225\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[3x^2 + 60x + 225 = 0\] Делим на 3: \[x^2 + 20x + 75 = 0\] Ищем корни квадратного уравнения через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-20 + 10}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-20 - 10}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

• Шаг 3: Проверяем знаки производной слева и справа от полученных точек:

Возьмем точку x = -6 (левее -5):

\[y'(-6) = 3(-6)^2 + 60(-6) + 225 = 3 \cdot 36 - 360 + 225 = 108 - 360 + 225 = -27 + 225 = -27 + 225 = -27 + 225 = -27 + 225 = 18\]

Возьмем точку x = -4 (правее -5):

\[y'(-4) = 3(-4)^2 + 60(-4) + 225 = 3 \cdot 16 - 240 + 225 = 48 - 240 + 225 = -192 + 225 = 33\]

Поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке x = -5, это точка максимума.

• Шаг 4: Проверяем знаки производной слева и справа от точки x = -15:

Возьмем точку x = -16 (левее -15):

\[y'(-16) = 3(-16)^2 + 60(-16) + 225 = 3 \cdot 256 - 960 + 225 = 768 - 960 + 225 = -192 + 225 = 33\]

Возьмем точку x = -14 (правее -15):

\[y'(-14) = 3(-14)^2 + 60(-14) + 225 = 3 \cdot 196 - 840 + 225 = 588 - 840 + 225 = -252 + 225 = -27\]

Поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке x = -15, это точка максимума.

Однако, необходимо проверить значения функции в этих точках, чтобы определить, какая из них является точкой максимума.

• Шаг 5: Сравним значения функции в точках x = -5 и x = -15:

\[y(-5) = (-5)^3 + 30(-5)^2 + 225(-5) + 23 = -125 + 30 \cdot 25 - 1125 + 23 = -125 + 750 - 1125 + 23 = -477\] \[y(-15) = (-15)^3 + 30(-15)^2 + 225(-15) + 23 = -3375 + 30 \cdot 225 - 3375 + 23 = -3375 + 6750 - 3375 + 23 = 23\]

Следовательно, точка максимума - это x = -5.

Ответ: -5