Впишите такое число, чтобы получилось верное равенство

Решение:

Для решения каждого примера необходимо применить правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

1. \( (x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10} \)
2. \( (b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12} \)
3. \( (2m)^2 = 2^2 \cdot m^2 = 4m^2 \). Но в примере стоит \( 4m^6 \), значит, имеем \( (2m^3)^2 = 4m^{3 \cdot 2} = 4m^6 \).
4. \( (3k)^4 = 3^4 \cdot k^4 = 81k^4 \). Но в примере стоит \( k^{20} \), значит, имеем \( (k^5)^4 = k^{5 \cdot 4} = k^{20} \).
5. \( (-5a^8)^2 = (-5)^2 \cdot (a^8)^2 = 25a^{8 \cdot 2} = 25a^{16} \). Но в примере стоит \( a^{24} \), значит, имеем \( (-5a^{12})^2 = (-5)^2 \cdot (a^{12})^2 = 25a^{24} \).
6. \( (-mn^2)^3 = (-1)^3 \cdot m^3 \cdot (n^2)^3 = -m^3n^{2 \cdot 3} = -m^3n^6 \). Но в примере стоит \( m^3n^6 \), значит, имеем \( (mn^2)^3 = m^3(n^2)^3 = m^3n^6 \).
7. \( (-2cy)^6 = (-2)^6 \cdot c^6 \cdot y^6 = 64c^6y^6 \). Но в примере стоит \( c^6y^6 \), значит, имеем \( (-cy)^6 = (-1)^6 c^6 y^6 = c^6y^6 \).
8. \( (-3a^5b)^3 = (-3)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot b^3 = -27a^{5 \cdot 3}b^3 = -27a^{15}b^3 \). Но в примере стоит \( a^{15}b^3 \), значит, имеем \( (-3a^5b)^3 \) не подходит. Если предположить, что \( (-3a^5b)^3 = \boldsymbol{a^{15}}b^3 \), то, вероятно, пропущено \( \sqrt[3]{-27} = -3 \) или \( (-1)^3 \). Если же мы заполняем пропуск, то \( (-3a^5b)^3 = -27 a^{15}b^3 \). Если же хотим получить \( a^{15}b^3 \), то скорее всего \( (-a^5b)^3 = -a^{15}b^3 \) и нам не хватает \( -1 \). Если пропуск относится к числу, то \( (-3a^5b)^3 = -27a^{15}b^3 \). Но в задании пропущено число, и тогда \( (-3a^5b)^3 = \boldsymbol{a^{15}}b^3 \) именно число \( -27 \) не вписывается. Если же мы предполагаем, что пропущен множитель, то \( (-3a^5b)^3 = \boldsymbol{-27}a^{15}b^3 \)
9. \( (\frac{3}{4}a)^3 = (\frac{3}{4})^3 \cdot a^3 = \frac{27}{64}a^3 \). Но в примере стоит \( a^9 \), значит, имеем \( (\frac{3}{4}a^3)^3 = (\frac{3}{4})^3 \cdot (a^3)^3 = \frac{27}{64}a^9 \). Если мы заполняем только пропуск, то \( (\frac{3}{4}a^3)^3 \)
10. \( (-\frac{2}{7}xy^4)^3 = (-\frac{2}{7})^3 \cdot x^3 \cdot (y^4)^3 = -\frac{8}{343}x^3y^{12} \). Но в примере стоит \( x^3y^6 \), значит, имеем \( (-\frac{2}{7}xy^2)^3 = (-\frac{2}{7})^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -\frac{8}{343}x^3y^6 \).
11. \( (-6t^6q^3)^2 = (-6)^2 \cdot (t^6)^2 \cdot (q^3)^2 = 36t^{12}q^6 \). Но в примере стоит \( 36t^...q^... \), значит, для \( 36 \) и \( t \) верно. Если \( q^3 \), то \( (-6t^6q^3)^2 = 36t^{12}q^6 \). Если пропуск относится к \( t \), то \( (-6t^t^x q^3)^2 = 36t^{2x} q^6 \). Если \( q \), то \( (-6t^6q)^2 = 36t^{12}q^2 \). Если предположить, что пропуски относятся к степени \( t \) и \( q \) то \( (-6t^6q^3)^2 = 36t^{12}q^6 \)
12. \( (-10x ... p^2)^3 = x^{18}p^6 \). Исходя из \( p^6 \), то \( (p^2)^3 = p^6 \). Исходя из \( x^{18} \), то \( x^6 \). Значит, \( (-10x^6p^2)^3 = (-10)^3 \cdot (x^6)^3 \cdot (p^2)^3 = -1000x^{18}p^6 \). Но в примере стоит \( x^{18}p^6 \), значит, \( (-10x^6p^2)^3 \) не подходит. Если предположить, что пропущен \( -1 \) перед \( 10 \), то \( (-x^6p^2)^3 = -x^{18}p^6 \). Если же пропуски относятся к \( x \) и \( p \), то \( (-10x^6p^2)^3 \) с числом -1000. Если предположить, что пропущено число \( -1 \), то \( (-x^6p^2)^3 = -x^{18}p^6 \). Если предположить, что пропущено число \( 1 \), то \( (-10x^6p^2)^3 = -1000x^{18}p^6 \). Если пропуск относится к \( x \), то \( (-10x^6p^2)^3 \)
13. \( (\frac{1}{5}m^5n^...)^3 = m^{15}n^{21} \). Из \( m^{15} \) следует \( (m^5)^3 = m^{15} \). Из \( n^{21} \) следует \( n^7 \). Значит, \( (\frac{1}{5}m^5n^7)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot (m^5)^3 \cdot (n^7)^3 = \frac{1}{125}m^{15}n^{21} \). В примере стоит \( m^{15}n^{21} \), значит \( (\frac{1}{5}m^5n^7)^3 \) не подходит. Если предположить, что пропущено число \( 1 \), то \( (m^5n^7)^3 = m^{15}n^{21} \).
14. \( (-7abc)^2 = (-7)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 49a^2b^2c^2 \). Но в примере стоит \( a^2b^2c^4 \), значит, \( (-7abc^2)^2 = (-7)^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot (c^2)^2 = 49a^2b^2c^4 \).
15. \( (-qp)^3 = (-1)^3 \cdot q^3 \cdot p^3 = -q^3p^3 \). Но в примере стоит \( q^9p^9 \), значит, \( (-qp^3)^3 = (-1)^3 \cdot q^3 \cdot (p^3)^3 = -q^3p^9 \). Если \( (-q^3p^3)^3 = -q^9p^9 \). Если же \( (-qp)^3 = q^9p^9 \), то пропущено \( -1 \) и \( q^3p^3 \). Предполагая, что \( (-q^3p^3)^3 = -q^9p^9 \). Если же \( (-qp)^3 = \boldsymbol{q^9}p^9 \), то пропущено \( -1 \) и \( q^3p^3 \). Если же \( (-q^3p^3)^3 = -q^9p^9 \)

Ответ: 16) x¹⁰; 17) b¹²; 18) (2m³)² = 4m⁶; 19) (k⁵)⁴ = k²⁰; 20) (-5a¹²)² = a²⁴; 21) (mn²)³ = m³n⁶; 22) (-cy)⁶ = c⁶y⁶; 23) (-3a⁵b)³ = -27a¹⁵b³; 24) (3/4a³)³ = a⁹; 25) (-2/7xy²)³ = x³y⁶; 26) (-6t⁶q³)² = 36t¹²q⁶; 27) (-10x⁶p²)³ = x¹⁸p⁶; 28) (1/5m⁵n⁷)³ = m¹⁵n²¹; 29) (-7abc²)² = a²b²c⁴; 30) (-q³p³)³ = q⁹p⁹