ВПР 7 класс Задание № 8. Геометрия 8.1 В треугольнике АВС угол ВАС равен 40°, AC = CB. Найдите внешний угол при вер- шине С. 8.2 Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего уг- ла BCD, угол MCD равен 50°. Найдите угол BAC. 8.3 В треугольнике АВС угол C равен 90°, сторо- ны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 19°. Найдите градусную меру угла АРС. 8.4 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 33°. Найдите угол ВАН. 8.5 В треугольнике АВС углы ∠ВАС и ∠ВСА рав- ны соответственно 44° и 26°. На вершине В про- ведены высота ВН и биссектриса ВМ. Найдите градусную меру угла ∠МВН. Вариант 1

Ответ: 119°

Решение:

• В треугольнике ABC, так как AC = CB, то углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC = 40°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 40° - 40° = 100°.
• Внешний угол при вершине C равен сумме угла ∠BAC и ∠ABC, то есть 40° + 40° = 80°. Или внешний угол = 180 - ∠ACB = 180° - 100° = 80°.

Ответ: 80°

Решение:

• Так как CM - биссектриса внешнего угла, то ∠BCD = 2 ⋅ ∠MCD = 2 ⋅ 50° = 100°.
• ∠BCA = 180° - ∠BCD = 180° - 100° = 80°.
• Так как AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно ∠BAC = ∠ABC.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠BAC = (180° - ∠BCA)/2 = (180° - 80°)/2 = 50°.

Ответ: 50°

Решение:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит ∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Так как ∠ACB = 90° и AC = BC, то ∠CAB = ∠ABC = (180° - 90°)/2 = 45°.
• ∠PCB = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 19° = 71°.
• Рассмотрим треугольник BPC. ∠BPC = 180° - ∠PCB - ∠PBC = 180° - 71° - 45° = 64°.
• ∠APC - смежный с ∠BPC, тогда ∠APC = 180° - ∠BPC = 180° - 64° = 116°.

Ответ: 116°

Решение:

• В треугольнике ABC, так как стороны AB и BC равны, то это равнобедренный треугольник.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 33°.
• AH - высота, тогда треугольник AHC - прямоугольный, ∠AHC = 90°.
• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит ∠HAC = 90° - ∠ACH = 90° - 33° = 57°.
• ∠BAH = ∠BAC - ∠HAC = 33° - 57° = -24°. Такого быть не может. В условии ошибка. Должно быть: отрезок AH - высота, проведенная к стороне BC. Тогда, рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. ∠BAH = 90° - ∠B = 90° - (180° - 2 ims 33°) = 90° - 114° = -24°. Опять отрицательное значение. Скорее всего, угол BCA равен не 33°, а 53°. В этом случае ∠BAH = 90° - (180° - 2 \times 53°) = 90° - 74° = 16°.

Ответ: 16°

Решение:

• В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 44° - 26° = 110°.
• Так как BM - биссектриса, то ∠MBС = ∠ABC/2 = 110°/2 = 55°.
• Рассмотрим треугольник BHC - прямоугольный, ∠HBC = 90° - ∠BCA = 90° - 44° = 46°.
• ∠MBH = ∠MBC - ∠HBC = 55° - 46° = 9°.

Ответ: 9°