ВПР Геометрия Вариант 1 1.В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ВАС = 46° и 2АВС=78°. 2.В равнобедренном АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр АВМ равен 32 см. 3.В АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 76° Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС. 4.В треугольнике АВС известно, что АС=16, ВМ медиана, ВМ= 12. Найдите АМ. 5. Сторона ВС треугольника АBC продолжена за точку С. На продолжении отмечена точка D так, что АС= CD. Найдите величину угла DAC, если угол АВС равен 85°, а угол ВАС равен 45°. A 6. На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и D. Найдите величину угла, ADC если угол АВС равен 32°

1. Найдём величину угла BCE:

• Т.к. CE - биссектриса угла C, то ∠BCE = 1/2 * ∠BCA
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, поэтому ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 46° - 78° = 56°
• Следовательно, ∠BCE = 1/2 * 56° = 28°

Ответ: 28°

2. Найдём медиану AM:

• Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 40 см
• Периметр треугольника ABM равен AB + BM + AM = 32 см
• Т.к. AM - медиана, то BM = 1/2 * BC
• Выразим BC из первого уравнения: BC = 40 - AB - AC
• Подставим BM = 1/2 * BC во второе уравнение: AB + 1/2 * BC + AM = 32
• Умножим обе части на 2: 2AB + BC + 2AM = 64
• Подставим BC = 40 - AB - AC: 2AB + 40 - AB - AC + 2AM = 64
• AB - AC + 40 + 2AM = 64, AB + AC = 40 - BC, значит AB - AC + 40 + 2AM = 64
• AB + AC + BC = 40 (периметр ABC)
• AB + (1/2*BC) + AM = 32 (периметр ABM)
• из второго выражения AB = 32 - (1/2*BC) - AM
• 32 - (1/2*BC) - AM + AC + BC = 40 (подставили AB в периметр)
• AC + (1/2*BC) - AM = 8
• 40 - BC + (1/2*BC) + AM = 32 (из периметра ABM выразили AB, и подставили в периметр ABC)
• AM = BC-8
• BC = 2*BM
• AM = (32-BC/2) - AB = 8
• AM = (40-AC) - AB =8
• 40-BC = 16, 40-AB = 16. 40-AC = 16
• 40-BC -AC + AM =64
• 40 - BC-AB+ AM= 64
• из этого выходит, что BC = 8см
• Тут недостаточно данных, чтобы найти конкретное числовое значение AM, потому что неизвестны стороны AB и AC.

Ответ: Невозможно определить AM, не хватает данных.

3. Найдём величину угла AMC:

• В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, следовательно, углы BAC и BCA равны.
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, тогда ∠BAC = ∠BCA = (180° - 76°) / 2 = 52°
• Т.к. AM и CM - биссектрисы, то ∠MAC = 1/2 * ∠BAC = 26° и ∠MCA = 1/2 * ∠BCA = 26°
• В треугольнике AMC сумма углов равна 180°, следовательно, ∠AMC = 180° - ∠MAC - ∠MCA = 180° - 26° - 26° = 128°

Ответ: 128°

4. Найдём AM:

• Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC = 16, BM - медиана, BM = 12
• Медиана делит сторону AC пополам, т.е. AM = MC = 1/2 * AC = 8

Ответ: 8

5. Найдём величину угла DAC:

• Так как AC = CD, треугольник ACD - равнобедренный.
• Угол ACD смежный с углом ACB, поэтому ∠ACD = 180° - ∠ACB
• В треугольнике ABC: ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC = 180° - 85° - 45° = 50°
• Тогда ∠ACD = 180° - 50° = 130°
• В равнобедренном треугольнике ACD углы DAC и ADC равны.
• Значит ∠DAC = (180° - ∠ACD) / 2 = (180° - 130°) / 2 = 25°

Ответ: 25°

6. Найдём величину угла ADC:

• Треугольник ABC равнобедренный, поэтому углы BAC и BCA равны.
• Сумма углов треугольника ABC: ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 32°) / 2 = 74°
• Так как AD = AC, треугольник ADC также равнобедренный, следовательно, углы ADC и ACD равны.
• ∠DAC = 180° - ∠BAC = 180° - 74° = 106°
• В треугольнике ADC: ∠ADC = ∠ACD = (180° - ∠DAC) / 2 = (180° - 106°) / 2 = 37°

Ответ: 37°