ВПР. Математика. 7 класс. Углублённый уровень. Вариант 1. Часть 2. Код 70073. Задумали трёхзначное число, которое делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 7. Найдите все числа, которые могли быть задуманы.

Решение:

Логика такая:

• Трёхзначное число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. Значит, оно должно заканчиваться либо на 0, либо на 5, и сумма его цифр должна делиться на 3.
• Пусть задуманное число имеет вид \(100a + 10b + c\), где a, b, c — цифры числа. После перестановки цифр в разрядах десятков и единиц, получим число \(100a + 10c + b\).
• По условию, разность между задуманным числом и числом после перестановки равна 7:

Но это уравнение не имеет целых решений, так как 7 не делится на 9. Значит, в условии есть ошибка. Разность должна быть не 7, а кратна 9.

Предположим, что в условии разность равна 9. Тогда:

Теперь найдём такие трёхзначные числа, которые делятся на 15 и удовлетворяют условию \(b - c = 1\). Так как число должно делиться на 5, то последняя цифра может быть либо 0, либо 5.

Случай 1: c = 0

Тогда b = 1. Число имеет вид \(100a + 10\). Сумма цифр \(a + 1\) должна делиться на 3. Возможные варианты для a: 2, 5, 8. Числа: 210, 510, 810.

• 210 делится на 15: \(210 : 15 = 14\)
• 510 делится на 15: \(510 : 15 = 34\)
• 810 делится на 15: \(810 : 15 = 54\)

Случай 2: c = 5

Тогда b = 6. Число имеет вид \(100a + 65\). Сумма цифр \(a + 6 + 5 = a + 11\) должна делиться на 3. Возможные варианты для a: 1, 4, 7. Числа: 165, 465, 765.

• 165 делится на 15: \(165 : 15 = 11\)
• 465 делится на 15: \(465 : 15 = 31\)
• 765 делится на 15: \(765 : 15 = 51\)

Финальный ответ:

Если разность равна 9, то все числа, которые могли быть задуманы: 210, 510, 810, 165, 465, 765.