ВПР. Математика. 10 класс. Вариант 1. Часть 1. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ AC ромба равна 48, а тангенс угла BCA равен 0,75.

Дано:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 48
• tg(∠BCA) = 0,75
• Окружность вписана в ромб.

Найти:

• Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Точка их пересечения является центром вписанной окружности.
2. Найдём половину диагонали AC: AO = OC = AC / 2 = 48 / 2 = 24.
3. Рассмотрим ∠BCA: В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Следовательно, ∠BCA = ∠DCA.
4. Угол ∠BCD: Так как tg(∠BCA) = 0,75, то ∠BCA = arctg(0,75) ≈ 36,87°. Тогда ∠BCD = 2 * ∠BCA ≈ 73,74°.
5. Угол ∠ABC: В ромбе смежные углы в сумме дают 180°. ∠ABC = 180° - ∠BCD ≈ 180° - 73,74° = 106,26°.
6. Угол ∠BOC: В ∇BOC, ∠BOC = 90° (диагонали перпендикулярны).
7. Угол ∠OBC: ∠OBC = ∠ABC / 2 = 106,26° / 2 = 53,13°.
8. Найдем длину диагонали BD: В ∇BOC, tg(∠OBC) = OC / OB. tg(53,13°) ≈ 1,333. OB = OC / tg(53,13°) ≈ 24 / 1,333 ≈ 18.
9. Диагональ BD: BD = 2 * OB ≈ 2 * 18 = 36.
10. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей: S = (AC * BD) / 2 = (48 * 36) / 2 = 864.
11. Площадь также равна произведению стороны на высоту: S = a * h. Найдем сторону ромба по теореме Пифагора в ∇AOB: AB^2 = AO^2 + OB^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900. AB = √900 = 30.
12. Высота ромба: h = S / AB = 864 / 30 = 28,8.
13. Радиус вписанной окружности: r = h / 2 = 28,8 / 2 = 14,4.

Ответ: 14,4